Образовательный блог – всё для учебы

Условия леммы 1 достаточны для того, чтобы рассматриваемые процессы были необрывающимися. Однако существуют практически интересные задачи, требующие изучения процессов, у которых функции ?(z) и v^v неограничены. Поэтому принципильно важно получить более широкие условия регулярности рассматриваемых процессов. Вместе с тем необходимо напомнить, что построения были проведены в предположении равномерной ограниченности ?(z) и v^v (условие (1.3.2)). Поэтому, прежде чем переходить к получению соответствующих результатов, необходимо расширить класс изучаемых процессов.

Ослабим условие (1.3.2). Именно, потребуем, чтобы функции ?(z) и v^v удовлетворяли при любом п соотношениям
sup ? (z) = ?_n < ?, sup |v^v(j)| = v_n < ? (1)

Кроме того, чтобы функция ?(z) была кусочно-непрерывна в каждом множестве {||z|| < n}.

Обозначим через z_{t, n} процесс с множеством состояний Z, для которого множество {||z|| ? n} является поглощающим и который при ||z|| < n ведет себя как кусочно-линейный (типа, описанного в ранее), определяемый функциями ?(z) и v^v.

Будем предполагать, что каждый процесс z_t,n регулярен. Например, пусть он удовлетворяет условиям леммы 1, где множество T_? в следует заменить на Т_?,n = T_??{||z|| ? n} (в силу того, что {||z|| ? n} — множество поглощающих состояний). Тогда время жизни каждого из процессов z_t,n бесконечно.

Зафиксируем целые числа шип. Обозначим через ?_n^m момент первого выхода процесса z_t,n из множества {||z|| < m). Из построения процессов z_t,n следует, что ?_n^m = ?_k^m при любых n, k ? m, поскольку при этом условии процессы z_t,n и z_t,k в множестве {||z|| < m} ведут себя одинаково. Поэтому естественно обозначить этот общий момент через ?^m. Таким образом, ?^m — момент первого выхода из множества {||z|| < m) траекторий процессов z_t,n, n ? m. Последовательность {?^m}, очевидно, является неубывающей. Пусть ? = lim ?^m. Назовем момент ? моментом ухода в бесконечность. Легко видеть, что значение 0 не зависит от выбора исходной последовательности множеств {||z|| < n}, вместо нее можно выбрать любую другую бесконечно расширяющуюся последовательность множеств, обладающую тем свойством, что расстояние от любой фиксированной точки z₀ до границы множеств также бесконечно возрастает.

Поскольку при любых n, k ? m имеет место равенство
z_t,n = z_t,k, t < ?^m,

то можно рассмотреть новый процесс z_t совпадающий до момента выхода из каждого множества {||z|| < n} с z_t,n и определяемый равенством

z_t = z_t,n при t < ?ⁿ. (2)

Построенный процесс z( определен конструкцией (2) лишь до момента 0. Так как, по предположению, все процессы z_t,n необрывающиеся, то будем говорить, что z_t построен на последовательности необрывающихся процессов и задается функциями ?(z) и v^v. Эти функции удовлетворяют соотношениям (1). Обозначим через A_n оператор вида

A_nV(z) = [ ?(z)[M⁽¹⁾V(z) - V(z)] + V*(z), ||z||

Этот оператор является слабым инфинитезимальным оператором подпроцессов, из которых «сшит» процесс z_t,n.

Из (2) и (3) следует, что можно определить оператор

A_nV(z) = [ ?(z)[M⁽¹⁾V(z) - V(z)] + V*(z), z?Z (4)

действие которого в каждом множестве {||z|| < n) совпадает с действием оператора А_n для процесса z_t,n. Область определения оператора А обозначим D_A*, D_A* = ?D_An. Будем доопределять функции из D_A* на множестве Z* по непрерывности. Напомним, что в множество D_A* входят лишь ограниченные функции. В дальнейшем оператор А часто будет применяться к неограниченным функциям. Поэтому необходимо определить класс тех функций, с которыми мы будем работать.

Рассмотрим некоторую функцию V(z), z?Z*. Обозначим при М > 0

V^M (z) = М, V(z) ? M,
V^M (z) = V(z), |V(z)| < M,
V^M (z) = – M, V(z) ? – M.

Предположим, что V^M?D_A* при любом М. Пусть А — оператор вида (4). Обозначим

AV^M(z) = ?^V_1M(z), z?Z,

М⁽²⁾V^M (z) – V^M (z) = ?^V_2M(z), z?Z*.

Предположим, что существуют конечные пределы
?^V₁(z) = lim ?^V_1M(z), z?Z, (6)

?^V₂(z) = lim ?^V_2M(z), z?Z*. (7)

Обозначим через D_A** класс функций V, для которых существуют функции ?^V_i(z), i = 1, 2.

Таким образом, класс D_A** можно рассматривать как расширение класса D_A*

Смысл введенных в данном посте построений заключается в следующем. Для получения необходимых результатов в дальнейшем придется неоднократно пользоваться формулой (1.3.9). Эта формула была получена в предположениях (1.3.2) равномерной ограниченности функций ?,(z), v^v, а также ограниченности функций V. Оба эти предположения являются стеснительными. Однако указанная формула (1.3.9) остается справедливой и при невыполнении предположений (1.3.2) (но при выполнении неравенств (1)), если воспользоваться представлением Процесса z, в виде продолжения подпроцессов z_t,n. Таким образом, исходный процесс z_t рассматривается как совокупность подпроцессов z_t,n для каждого из которых формула (1.3.9) имеет смысл, если V?D_A* – Если же функция V неограничена, но принадлежит классу D_A**, то «усекая» ее сверху и снизу числами М и -М соответственно, применяя формулу (1.3.9) к усеченной функции (что допустимо по построению D_A**) и переходя к пределу при М ? ?, можно получить искомые результаты. Приводимые построения, несмотря на их кажущуюся излишнюю формальность, необходимы по существу. Более того, несоблюдение этих «формальностей» может привести к ошибке.

1. Достижимость для процессов с дискретным временем
2. Вывод формулы для КЛП (кусочно-линейных марковских процессов)
3. Устойчивость регенерирующих процессов
4. Ограниченность для процессов с дискретным временем
5. Пример процесс рождения и гибели. Многолинейная система массового обслуживания с относительным приоритетом
6. Моделирование и синхронизация параллельных процессов
7. Процесс моделирования и краткий обзор видов моделирования
8. Особенности построения моделей дискретных процессов на языке GPSS
9. Процесс литографии
10. Влияние технологических факторов на процесс диффузии
11. Постановка задачи оценки распределения момента первого достижения
12. Моделирование процессов, связанных по устройству обслуживания
13. Оценка скорости сходимости в теореме восстановления
14. Оценки в случае непрерывного времени
15. Влияние концентрации дисперсной фазы на характеристики коронного разряда и процесс очистки газа электрофильтрами
16. Ограниченность для КЛП
17. Пример многолинейной системы массового обслуживания с относительным приоритетом