Процесс, построенный на последовательности необрывающихся процессов

Условия леммы 1 достаточны для того, чтобы рассматриваемые процессы были необрывающимися. Однако существуют практически интересные задачи, требующие изучения процессов, у которых функции λ(z) и vv неограничены. Поэтому принципильно важно получить более широкие условия регулярности рассматриваемых процессов. Вместе с тем необходимо напомнить, что построения были проведены в предположении равномерной ограниченности λ(z) и vv (условие (1.3.2)). Поэтому, прежде чем переходить к получению соответствующих результатов, необходимо расширить класс изучаемых процессов.

Ослабим условие (1.3.2). Именно, потребуем, чтобы функции λ(z) и vv удовлетворяли при любом n соотношениям

sup λ (z) = Λn < ∞, sup |vv(j)| = vn < ∞ (1)

Кроме того, чтобы функция λ(z) была кусочно-непрерывна в каждом множестве {||z|| < n}. Обозначим через zt, n процесс с множеством состояний Z, для которого множество {||z|| ≥ n} является поглощающим и который при ||z|| < n ведет себя как кусочно-линейный (типа, описанного в ранее), определяемый функциями λ(z) и vv.

Будем предполагать, что каждый процесс zt,n регулярен. Например, пусть он удовлетворяет условиям леммы 1, где множество Tδ в следует заменить на Тδ,n = Tδ∪{||z|| ≥ n} (в силу того, что {||z|| ≥ n} — множество поглощающих состояний). Тогда время жизни каждого из процессов zt,n бесконечно.

Зафиксируем целые числа шип. Обозначим через θnm момент первого выхода процесса zt,n из множества {||z|| < m). Из построения процессов zt,n следует, что θnm = θkm при любых n, k ≥ m, поскольку при этом условии процессы zt,n и zt,k в множестве {||z|| < m} ведут себя одинаково. Поэтому естественно обозначить этот общий момент через θm. Таким образом, θm — момент первого выхода из множества {||z|| < m) траекторий процессов zt,n, n ≥ m. Последовательность {θm}, очевидно, является неубывающей. Пусть θ = lim θm. Назовем момент θ моментом ухода в бесконечность. Легко видеть, что значение 0 не зависит от выбора исходной последовательности множеств {||z|| < n}, вместо нее можно выбрать любую другую бесконечно расширяющуюся последовательность множеств, обладающую тем свойством, что расстояние от любой фиксированной точки z0 до границы множеств также бесконечно возрастает.

Поскольку при любых n, k ≥ m имеет место равенство
zt,n = zt,k, t < θm,

то можно рассмотреть новый процесс zt совпадающий до момента выхода из каждого множества {||z|| < n} с zt,n и определяемый равенством

zt = zt,n при t < θn. (2)

Построенный процесс zt определен конструкцией (2) лишь до момента θ. Так как, по предположению, все процессы zt,n необрывающиеся, то будем говорить, что zt построен на последовательности необрывающихся процессов и задается функциями λ(z) и vv. Эти функции удовлетворяют соотношениям (1). Обозначим через An оператор вида

AnV(z) = [ λ(z)[M(1)V(z) — V(z)] + V*(z), ||z||

Этот оператор является слабым инфинитезимальным оператором подпроцессов, из которых «сшит» процесс zt,n.

Из (2) и (3) следует, что можно определить оператор

AnV(z) = [λ(z)[M(1)V(z) — V(z)] + V*(z), z∈Z (4)

действие которого в каждом множестве {||z|| < n) совпадает с действием оператора Аn для процесса zt,n. Область определения оператора А обозначим DA*, DA* = ∩DAn. Будем доопределять функции из DA* на множестве Z* по непрерывности. Напомним, что в множество DA* входят лишь ограниченные функции. В дальнейшем оператор А часто будет применяться к неограниченным функциям. Поэтому необходимо определить класс тех функций, с которыми мы будем работать.

Рассмотрим некоторую функцию V(z), z∈Z*. Обозначим при М > 0

VM (z) = М, V(z) ≥ M,
VM (z) = V(z), |V(z)| < M, VM (z) = — M, V(z) ≤ — M.

Предположим, что VM∈DA* при любом М. Пусть А — оператор вида (4). Обозначим

AVM(z) = ΔV1M(z), z∈Z,

М(2)VM (z) — VM (z) = ΔV2M(z), z∈Z*.

Предположим, что существуют конечные пределы

ΔV1(z) = lim ΔV1M(z), z∈Z, (6)

ΔV2(z) = lim ΔV2M(z), z∈Z*. (7)

Обозначим через DA** класс функций V, для которых существуют функции ΔVi(z), i = 1, 2.

Таким образом, класс DA** можно рассматривать как расширение класса DA*.

Смысл введенных в данном посте построений заключается в следующем. Для получения необходимых результатов в дальнейшем придется неоднократно пользоваться формулой (1.3.9). Эта формула была получена в предположениях (1.3.2) равномерной ограниченности функций λ(z), vv, а также ограниченности функций V. Оба эти предположения являются стеснительными. Однако указанная формула (1.3.9) остается справедливой и при невыполнении предположений (1.3.2) (но при выполнении неравенств (1)), если воспользоваться представлением Процесса z, в виде продолжения подпроцессов zt,n. Таким образом, исходный процесс zt рассматривается как совокупность подпроцессов zt,n для каждого из которых формула (1.3.9) имеет смысл, если V∈DA* — Если же функция V неограничена, но принадлежит классу DA**, то «усекая» ее сверху и снизу числами М и -М соответственно, применяя формулу (1.3.9) к усеченной функции (что допустимо по построению DA**) и переходя к пределу при М → ∞, можно получить искомые результаты. Приводимые построения, несмотря на их кажущуюся излишнюю формальность, необходимы по существу. Более того, несоблюдение этих «формальностей» может привести к ошибке.


Комментарии запрещены.





Статистика

Рейтинг@Mail.ru