Образовательный блог – всё для учебы

Пример 1. Процесс рождения и гибели. Рассмотрим вероятностный процесс, широко применяемый в различных прикладных областях. Это процесс со счетным числом состояний N = {0, 1, 2, …}. В каждом состоянии v?N процесс проводит случайное время, которое распределено экспоненциально с параметром ?(v), после чего переходит либо в состояние v + 1 (с вероятностью p_v), либо в состояние v—1 (с вероятностью q_v), q₀ = 0, p_v + q_v = 1. Будем считать, что ?(v) > 0, v ? 0, p_v ? 0, v ? 0 и q_v > 0, v ? 1. Из этих условий следует, что p₀ = 1. Величина ?(v)p_v трактуется как интенсивность рождения в состоянии v, а ?(v)q_v – интенсивность гибели в этом же состоянии. Очевидно, что любая функция V(v), не принимающая бесконечных значений, принадлежит множеству D_А. При этом вид оператора А (см. формулу (3.4), где нужно положить v_v = 0) следующий:

AV(v) = ?(v) [p_vV(v + 1) + q_vV(v- 1) - V(v)]. (1)

Введем обозначения:

?₀ = 1. ?_k = ?(0)/?(k)(?₀…?_k-1/q₁…q_k), k ? 1. (2)

Предположим, что выполнено соотношение

?1/(?(k)p_k?_k)??_j = ?. (3)

Докажем, что процесс при этом условии регулярен. Рассмотрим пробную функцию

V(v) = 0, при v = 0,
V(v) = ?1/(?(k)p_k?_k)??_j, при v > 0. (4)

С помощью формулы (1) легко показывается, что AV(v) = 1 при всех v ? 0. Таким образом, функция (4) удовлетворяет условиям 3) и 4) теоремы 4.1 (см. также замечание к этой теореме). Выполнение условия 1) этой теоремы следует из положи¬тельности величин ?(k), p_k, ?_k и формулы (4), а условия 2) — из соотношения (3). Поскольку построенная функция V удовлетворяет всем условиям теоремы 4.1, при условии (3) процесс рождения и гибели регулярен.

Пример 2. Многолинейная система массового обслуживания с относительным приоритетом. Данная система является
частным случаем КЛП Гнеденко — Коваленко и ее описание
дано ранее в постах. Из формулы (1.4.5) следует, что эта система удовлетворяет условию (11) при К = 1. Кроме того, скорости v^v(j) могут принимать лишь два значения (0 и -1), и при этом число компонент, равных -1, ограничено и не превышает числа каналов N. Поэтому для нахождения условий регулярности воспользуемся результатами предыдущего примера.

Процесс, описывающий данную систему обслуживания, регулярен, если

? 1/?(l) = ?,

где

?(l) = max ?(v₁, v₂)

1. Пример многолинейной системы массового обслуживания с относительным приоритетом
2. Система обслуживания с относительным приоритетом
3. Оценки в случае непрерывного времени
4. Пример многолинейной системы обслуживания с ожиданием
5. Процесс, построенный на последовательности необрывающихся процессов
6. Пример 3 и 4 моделей систем с дискретным временем
7. Достаточные условия регулярности
8. Пример 1 – модели сложных систем, описываемые как КЛП
9. Ограниченность для процессов с дискретным временем
10. Пример – ненагруженное дублирование с восстановлением
11. Свойство регулярности. Необрывающиеся процессы
12. Система контроля за герметичностью ТВЭЛа
13. Система компенсации давления
14. Процесс литографии
15. Достижимость для процессов с дискретным временем
16. Фундаментальная система решений, общее решение однородного и неоднородного ЛРУ с помощью ФСР
17. Влияние технологических факторов на процесс диффузии