Ненагруженное дублирование с восстановлением.

Данный пример можно рассматривать как развитие предыдущего примера в силу сделанного в конце его замечания.

Итак, рассмотрим дублированную систему, описанную в конце предыдущего примера. Опишем сначала работу такой системы в виде КЛП без непрерывного вмешательства случая. Поскольку функционирование системы рассматривается лишь до момента первого отказа, то будем для простоты считать «отказовые» состояния поглощающими. Но, очевидно, до момента первого отказа работа рассматриваемой системы эквивалентна работе однолинейной системы обслуживания с ожиданием, если отождествить попарно следующие понятия: отказ работающего элемента и поступление в систему очередного требования, длительность ремонта и длительность обслуживания, отказ системы и наличие в системе обслуживания более одного требования. Поэтому в качестве КЛП, описывающего изучаемую дублированную систему, можно взять КЛП примера 1.4.4, положив в нем N = 1, В = G и, считая состояния v > 1 поглощающими, объединить их в одно поглощающее состояние v = 2, |2| = 0. Тогда дополнительные координаты имеют следующий смысл:

z⁰(1) — время, оставшееся до отказа рабочего элемента при наличии дублирующего элемента;

z¹(1) — время, оставшееся до отказа рабочего элемента в случае ремонта дублирующего элемента;

z¹(2) — время, оставшееся до окончания ремонта отказавшего элемента.

При этом Q = {z : z = (v, z^v), v = 0, 1}.

Отсюда получаем оценку

Р_z{θ^Q ≤ t} ≤ V(z) + α(1 + α)^-1M_zI(t) (теорема 3.1).

В частности, если считать, что в начальный момент времени оба элемента полностью исправны, т. е. что «ресурс» времени безотказной работы каждого из них является случайной величиной с функцией распределения H, то

Р₀{θ^Q ≤ t} ≤ α(1 + α)^-1K(t) (32)

Функция K(t) имеет смысл среднего числа событий, происходящих за время t, если расстояния по времени между последовательными событиями являются независимыми случайными величинами с одним и тем же распределением H, и такое же распределение имеет время наступления первого события. Если, в частности, Н(х) = 1 — е^-λx, то К(t) = λt, и оценка (32) превращается в линейную.

Получим другие оценки для этой системы.

Опишем рассматриваемую систему в виде КЛП без дискретного вмешательства случая. Для этого введем КЛП с тремя основными состояниями v = 0, 1, 2, интерпретируемыми как число неисправных элементов системы, т. е. так же, как и выше. И пусть вновь v = 2 — поглощающее состояние. В каждом основном состоянии v = 0 и v = 1 введем по одной дополнительной координате, каждая из которых имеет смысл времени, про¬шедшего с начала работы работающего элемента.

Предположим, что у законов распределения H и G существуют плотности h и g соответственно. Обозначим λ_H(х) = h(x)/(1-H(x)) и λ_G(х) = g(x)/(1-G(x)). Заметим, что функции распределения H и G могут быть выражены соответственно через λ_H и λ_G.

При х < 0 будем полагать λ_H(х) = λ_G(х) = 0.

Потребуем, чтобы для любого х > 0

sup λ_H(у) < ∞, sup λ_G(y) < ∞. Элементарным следствием этого требования является тот факт, что при любом х > 0 Н(х) < 1 и G(x) < 1. Таким образом, исходное определение интенсивностей λ_H и λ_G является корректным. Формально введем объекты, задающие КЛП:

Г₁ = (- ∞, ∞), Г₂=(-∞, ∞)

Заметим, что состояния, в которых дополнительные координаты отрицательны, не являются возвратными. Они введены только лишь для того, чтобы множества Г₁ и Г₂ были открытыми в соответствии с данными в первых постах. И тот физический смысл, который был придан дополнительным координатам, верен, конечно, лишь при их неотрицательных значениях.

Комментарии запрещены.