Пример многолинейной системы обслуживания с ожиданием

Многолинейная система обслуживания с ожиданием. Дадим теперь пример системы, по конструкции более простой, чем КЛП Гнеденко — Коваленко, но не укладывающейся в эту схему.

Рассмотрим систему массового обслуживания (в другом представлении она была рассмотрена в примере 3), состоящую из N приборов, на которую через независимые одинаково распределенные случайные промежутки времени поступают требования. Обозначим Н(х) функцию распределения этих промежутков. Длительности обслуживания отдельных требований на приборах не зависят от остальных случайных величин, «управляющих» системой, и имеют одну и ту же (для всех приборов и требований) функцию распределения В(х). Будем характеризовать состояние системы вектором z = (v, zv), v = 0, 1, …, где компоненты вектора z имеют следующий смысл: v — число требований, находящихся в системе, zv(1)—время, оставшееся до поступления очередного требования,
zv(j), 1 < j ≤ N ∧ v + 1 — времена, оставшиеся до окончания обслуживании требований, находящихся на приборах. По своему смыслу все дополнительные координаты положительны и убывают с единичной скоростью. В момент обращения в нуль координаты zv(1) (что соответствует поступлению в систему требования) значение основного состояния увеличивается на 1, первая дополнительная координата принимает случайное значение с распределением Н, остальные координаты сохраняют свои значения и порядок, а общее число дополнительных координат остается неизменным, если v ≥ N и увеличивается на 1, если v < N. В последнем случае новая координата является случайной величиной с распределением В. В момент обращения в нуль zv(j), j > 1, эта координата «удаляется» из записи вектора состояния, и значение v уменьшается на 1. Если при этом было v ≤ N, то больше никаких изменений не происходит. Если же было v > N, то размерность zv не изменяется благодаря тому, что к «уменьшенному» вектору приписывается случайная величина, распределенная по закону В (что соответствует началу обслуживания очередного требования).

В этом описании следует сделать очевидные дополнения для случая, когда в нуль обращаются несколько дополнительных координат.

Ограничимся лишь формализацией данного процесса в виде КЛП. Именно, рассматриваемую модель можно получить из КЛП общего вида путем следующих ограничений:

Гv = {zv > 0}, |v|=N∧v + 1, vv(j) = -1, 1 ≤ j ≤ |v|,

λ(z) =0 (следовательно, Р(1) не определяется).

Тогда для V∈DA имеем

AV (v, zv) = V (v, zv)

Пусть z* = (v, zv*), где zv* (i) = 0 при i = j1, …, jm и zv*(i) > 0 при i ≠ j1, …, jm, 1 ≤ j1 < ... < jm ≤ |v|. Обозначим через zv(j1, …, jm) вектор, получающийся из zv «удалением» координат с номерами j1, …, jm причем, если b = (b1, …, bk), то (b)p = (b1, …, bk).

Тем самым показано, что данная модель системы массового обслуживания представлена в виде КЛП.


Комментарии запрещены.





Статистика

Рейтинг@Mail.ru