Образовательный блог – всё для учебы

Многолинейная система массового обслуживания с относительным приоритетом. Дадим пример описания конкретной системы обслуживания в виде КЛП Гнеденко—Коваленко.

Пусть в систему, состоящую из N обслуживающих приборов, поступают требования двух типов. Требования первого типа назовем приоритетными, а второго — обычными. Обслуживание однотипных требований происходит в порядке их поступления, и процесс обслуживания каждого требования идет без прерывания. В случае, если в момент поступления какого-либо требования имеется хотя бы один свободный прибор, оно немедленно начинает обслуживаться. В противном случае требование ожидает начала обслуживания. Если в момент освобождения прибора в системе находится хотя бы одно требование, то на обслуживание поступает требование наивысшего приоритета из имеющихся в системе. Если в некоторый момент в системе находятся v₁ приоритетных и v₂ обычных требований, то с интенсивностью ?₁(v₁, v₂) поступают приоритетные, а с интенсивностью ?₂(v₁, v₂) —обычные требования. Это означает, что при фиксированных v₁ и v₂ потоки поступающих приоритетных и обычных требований — независимые пуассоновские с параметрами ?₁ и ?₂ соответственно. В такую модель укладываются, в частности, схемы с бесконечными и конечными источниками требований. Обозначим ?(v₁, v₂) = ?₁(v₁, v₂) + ?₂(v₁, v₂), p_i(v₁, v₂) = ?_i(v₁, v₂) [?(v₁, v₂)]^-1, i = 1, 2. Пусть длительности обслуживания отдельных требований — случайные величины, не зависящие ни от процесса поступления, ни от длительностей обслуживания остальных требований. Обозначим через B_i(x) функции распределения длительностей обслуживания требований i-ro типа, i = 1,2.

Пусть l — суммарное число требований, находящихся в системе, s — число приоритетных требований, находящихся на обслуживании, ? — вектор размерности l, ?= (?₁, …, ?_l), где величины ?_i, имеют следующий смысл. Упорядочим все требования, находящиеся в системе (на обслуживании и в очереди), по моментам их поступления. Тогда ?_i = 1 или 0 в зависимости от того, стоит ли на i-месте приоритетное или обычное требование соответственно. При этом число v₁ приоритетных требований в системе определяется равенством v₁ = ? ?_i, а число обычных требований v₂ = l — v₁.

Обозначим через N множество всевозможных целочисленных векторов v вида v = (l, s, ?), где l ? 0, ? = (?₁, …, ?_l) (в случае l = 0 вектор ? не определяется), s ? N?v₁. Очевидно, можно установить взаимно однозначное соответствие между множеством Неотрицательных целых чисел N и вместо введенного выше вектора v рассматривать соответствующее ему целое число. Однако мы этого делать не будем, чтобы не терять наглядности представления. Положим |v| = l.

Обозначим z^v(j) время, необходимое для обслуживания требования, стоящего на j-м месте (при введенном порядке по времени поступления). Если j-е требование уже обслуживается, то z^v(j) имеет смысл времени, оставшегося до окончания обслуживания. Тогда процесс z_t с состоянием вида z = (v, z^v), где компоненты v и z^v определены выше, представляет собой КЛП Гнеденко — Коваленко. Приведем конкретный вид параметров процесса в этом случае.

Если v = (l, s, ?), v₁ = ? ?_i; v₂ = l — v₁, то

?(v) = ?(v₁, v₂), (4)

p_v? = p_j (v₁, v₂) если ? = (l + 1, s’, ?₁, …, ?_l, 2 — j), j = 1, 2,
p_v? = 0, в противном случае (5)

где s’ = s+1, если l < N и j = 1,
s' = s, в противном случае.

Иначе говоря, число обслуживаемых приоритетных требований увеличивается на 1 только тогда, когда имеется хотя бы один свободный прибор и поступает приоритетное требование.

Функции распределения H_v? в данном случае одномерны, поскольку |?| = |v| + 1, и имеют вид H_v?(x) = В_j(х), если ? = (l + 1, s’, ?₁, …, ?_l, 2 — j), j = 1, 2. (6)

Компоненты вектора v_v имеют вид: если |v| ? N, то
v^v(j) = -1, 1 ? j ? |v|; (7)
если |v| > N, то
v^v(j) = -?_j, 1 ? j ? |v|, (8)
где ?_j=?_j^(s) – ?(_j^(N-s)

Приведенная конструкция вектора v^v соответствует тому, что обслуживаются s первых приоритетных требований и l ?N — s первых обычных требований.
Положим теперь

q_v?(j₁, …, j_m) = 1, если ? = (l-m, s», ?(j₁ …,j_m)),
q_v?(j₁, …, j_m) = 0 в противном случае, (9)

где s» = (??_i-s) ? (N-l+m) (т. е. на обслуживание
принимается максимально возможное число приоритетных требований). Тем самым рассматриваемая система представлена в виде КЛП Гнеденко — Коваленко.

1. Пример многолинейной системы обслуживания с ожиданием
2. Система обслуживания с относительным приоритетом
3. Пример процесс рождения и гибели. Многолинейная система массового обслуживания с относительным приоритетом
4. Пример 3 и 4 моделей систем с дискретным временем
5. Примеры устойчивости предельных режимов
6. Примеры 1 и 2 моделей с дискретным временем
7. Пример – ненагруженное дублирование с восстановлением
8. Моделирование процессов, связанных по устройству обслуживания
9. Пример 1 – модели сложных систем, описываемые как КЛП
10. Оптимизация надежности объекта как системы элементов
11. представления электронной схемы в виде физической системы
12. Ядро системы ACTIVE-HDL
13. Формализация технических требований, предъявляемых к параметрам и характеристикам проектируемого устройства
14. Объекты системы моделирования и средства их реализации. Транзакты
15. Применение ЭВМ при решение системы линейных уравнений
16. Пример создания базы данных из нескольких таблиц на SQL
17. Пример использования триггеров SQL для поддержания ссылочной целостности