Пример 1 — модели сложных систем, описываемые как КЛП

Пример 1. КЛП Гнеденко — Коваленко.

Рассмотрим случайный марковский процесс, служащий моделью широкого класса систем массового обслуживания. Состоянием процесса является вектор z переменной размерности, z = (v, zv (1), …, zv(|v|)), где компонента v (основное состояние) принимает значения из конечного или счетного множества N, a zv(j) > 0, j= 1,…,|v|. В промежутках между скачками zv(j) изменяется с постоянной скоростью vv(j). Скачки у этого процесса бывают двух типов. Скачки первого типа (вследствие непрерывного вмешательства случая) происходят с интенсивностью λ(v), зависящей лишь от v. В этом случае после скачка новое основное состояние μ будет случайным с распределением {p}, ∑p=1, зависящим лишь от прежнего основного состояния. Таким образом, при рассматриваемом скачке размерность вектора z может только увеличиться. Новый вектор дополнительных координат z* при этом составляется из старого вектора z" и случайного не зависящего от предыстории процесса z, положительного вектора ξ размерности |μ| — |v|, функция распределения которого H (х (1), …, х (|μ| — |v|), х (j) > 0, зависит только от v и μ. Именно zμ = (zv, ξμ) = (zv(1), …, zv(|v|), ξ (1), …, ξ(|μ|— |v|)). После такого скачка координаты вектора zμ вновь изменяются с постоянной скоростью vμ.

Скачки второго типа (вследствие дискретного вмешательства случая) происходят в моменты обращения в нуль одной или нескольких дополнительных координат и организованы следующим образом. Пусть в момент t одновременно обратились в нуль m дополнительных координат, т. е.

lim zsv(jr) = 0, r=1, …, m; m ≤ |v|. (1)

Тогда в момент t новое основное состояние μ является случайным с распределением q (j1, …, jm), зависящим лишь от номеров обратившихся в нуль координат, причем ∑q(j1, …, jm) = 1 при любом наборе (j1, …, jm).

Иначе говоря, размерность вектора дополнительных координат при таком переходе уменьшается в точности на число обратившихся в нуль координат.

Новый вектор zμ получается из старого путем «удаления» обратившихся в нуль координат без изменения порядка оставшихся координат.

Описанный процесс является, очевидно, частным случаем КЛП, и в соответствии с изложенным выше его можно задать с помощью следующих ограничений:

1°. Гv = {zv > 0}.

2°. λ(z) = λ(v) при z = (v, zv).

3°. P(1){(v, zv(1),…, zv(|v|); (μ, x(1),…, x(|μ|)} = P{z(t = (μ, zμ(1), …, zμ(|μ|)) zμ(i) ≤ x(j),
i = 1, …, |μ|/z(t — 0) = (v, zv(1),…, zv(|v|) и t — момент непрерывного вмешательства случая} = p ∏χ[0,x(j)](zv (j)) H(x(|v| + 1), …, х (|μ|));

в силу определения вероятностей p
P(1){(v, zv); (μ, x)} = 0 при |μ| ≤ |v|,

4°. Существуют основные состояния с нулевым рангом.

5°. Пусть выполнено (1); тогда lim zv = zv*∈Гv* и Р(2) {(v, zv*);

(μ, хμ(1),…,xμ(|μ|))} = Р {z(t) = (μ, zμ(1), …, zμ(|μ|)), zμ(i) ≤ x(i), i = 1,…, |μ|/z(t— 0) = (v, zv*) и t— момент дискретного вмешательства случая} = q (j1, …, jm)∏∏χ(0,x(i-k))(zv(i)),

где считается j0 = 0, jm+1 = |v| + 1, а если множество индексов {i: jk < i < jk+1} пусто, то соответствующее произведение полагается равным 1; в силу определения вероятностей q(j1, …, jm)

P(2) {(v,zv*); (μ, x)} = 0 при |μ| ≠ |v| — m.

6°. Каждое из множеств N(n) = {v: |v| = n) конечно.

Рассмотрим теперь функцию V∈DA. В соответствии с 1°— 6° имеют место следующие формулы:

AV (v, zv) = V (v, zv) + λ (v) ∑p∫…∫[V(μ, zv(1), …, zv(|v|), x(1), …, x(|μ|-|v|)) — V(v, zv)] H(dx(1), …, dx(|μ|-|v|)), (2)

а при zv*∈Гv таком, что zv*(j)=…= zv*(jm) = 0, m≤|v|, M(2)V(v,zv*) = ∑ q(j1, …, jm)-V(μ, zμ(j1, …, jm)), (3)

где через zv(j1, …, jm) обозначен вектор, получающийся из zv путем «удаления» координат с номерами j1, …, jm.


Комментарии запрещены.





Статистика

Рейтинг@Mail.ru