Постановка задачи устойчивости предельных режимов

Рассмотрим однородный марковский процесс zt, задаваемый рекуррентным соотношением вида (1.1.5), т. е.

zt+1 = F(zt, ξt), t≥0. (1)

Хотя результаты, приводимые в этой и следующей главах, имеют более общий характер, все же всюду будет считаться, что zt задается именно соотношением вида (1). Будем смотреть на это соотношение как на преобразование «управляющей» последовательности {ξt} и начального состояния z0 в последовательность {zt} (удобно начальное состояние z0 считать, с одной стороны, управляющим параметром, а с другой — управляемым).

Наряду с процессом zt рассмотрим процесс zt*, задаваемый соотношением

zt+1* = F(zt*,ξt*), t≥0, (2)

и управляемый последовательностью {ξt*} и начальным состоянием z0*. Далее будем называть процесс zt невозмущенным, a zt* — возмущенным.

Всюду считается, что последовательности {ξt} и {ξt*} состоят из независимых одинаково распределенных случайных векторов, принимающих значения из множества Ψ, наделенного метрикой ρΨ.

Удобно предположить, что между управляющими последовательностями {ξt} и {ξt*}, а также между z0 и z0* существует статистическая связь. Именно, будем предполагать, что (z0, z0*), (ξ0, ξ0*), (ξ1, ξ1*), … есть последовательность независимых пар, но случайные величины, входящие в каждую из пар, вообще говоря, зависимы. Таким образом, возмущенный и невозмущенный процессы оказываются зависимыми и, в частности, зависимыми оказываются значения, принимаемые этими процессами в любой момент времени. Следует отметить, что любое конечномерное распределение процесса zt определяется лишь через распределения начального состояния z0 и элементов последовательности {ξt}. То же относится, естественно, и к процессу zt*.

Рассмотрим пару xt = {zt, zt*). Из соотношений (1) и (2) и ограничений, наложенных на последовательности (z0, ξ0, ξ1, …) и (z0, ξ0*, ξ1*, …), следует, что процесс xt является однородным марковским. Вместе с тем и каждый из процессов zt и zt* тоже является однородным марковским. Далее буквой А будем обозначать производящий оператор любого из этих процессов. В тех случаях, когда это могло бы привести к недоразумениям, будут делаться необходимые оговорки. Обозначим также X = ZxZ множество состояний процесса xt, α = (z0, ξ0, ξ1, …).
α* = (z0*, ξ0*, ξ1*, …).

Нас будет интересовать вопрос, как сильно отличается процесс zt* от процесса zt, если последовательности {z0*, ξ0*, ξ1*, …} и {z0, ξ0, ξ1, …} в каком-то смысле близки.

Прежде чем давать ответ на этот вопрос, его нужно корректно поставить. Определения устойчивости, приводимые в этой и следующей главах, являются по существу различными (корректными) формулировками данного вопроса. Все эти определения естественным обрезом разбиваются на две группы. В одну включаются определения, учитывающие факт совместного задания процессов zt и zt*, а в другую —учитывающие лишь маргинальные характеристики этих процессов.

Определение 1. Процесс zt называется устойчивым в среднем по времени, если для любого ε > 0 существуют постоянные δ1 = δ1(ε) > 0, δ2 = δ2(ε) > 0, такие, что при

z(z0, z0*) < δ1,
Ψt, ξt*) < δ2 (3)

имеет место

lim 1/k∑P{ρz(zt,zt*)≥ε}<ε. (4)

Иногда удобно рассматривать то или иное свойство траектории при фиксированном начальном состоянии {z0, z0*). Дадим соответствующее видоизменение определения 1.

Определение 1′. Процесс zt называется устойчивым в среднем по времени при начальном состоянии z0 = z, z0* = z*, если для любого ε >0 существует постоянная δ = δ(ε) >0 такая, что при МρΨt, ξt*) < δ имеет место

lim 1/k∑P(z,z*)z(zt,zt*)≥ε}<ε.

Отметим, что здесь и ниже определения будут приводиться в той форме, в которой они используются в доказательствах. Мы не будем останавливаться на эквивалентных модификациях вводимых определений.

Пусть существуют финальные распределения

Q(B) = lim Pz{zt∈B}, (5)
Q*(B)= lim Pz*{zt*∈B}, (6)

не зависящие от начальных состояний z и z* соответственно. Предположение о существовании финальных распределений (5) и (6) ведет, очевидно, к некоторым ограничениям, налагаемым лишь на маргинальные распределения последовательностей {z0, ξ0, ξ1, …} и {z0*, ξ0*, ξ1*, …). Обозначим через S множество таких последовательностей, для которых существуют финальные распределения вида (5) или (6). Пусть μ — некоторое расстояние между случайными величинами z0 и z0*, определяемое лишь через маргинальные распределения этих величин, а μ2—аналогичное расстояние между ξi и ξi* (в силу предположения об одинаковой распределенности пар (ξi, ξi*) значение расстояния μ2 от индекса i не зависит).

Определение 2. Процесс zt устойчив в пределе (слабо), если для любого ε > 0 существует постоянная δ = δ(ε) >0 такая, что при (z0, ξ0, …)∈S, (z0*, ξ0*, …)∈S,

μ2i, ξi*) < δ (7)

имеет место

π(Q, Q*) < ε (8)

(π — расстояние Леви — Прохорова).

Определение 2 требует слабой сходимости финальных распределений процессов zt при уменьшении возмущений, измеряемых расстояниями μ1 и μ2.

Далее особый интерес представит случай, когда компоненты векторов z0, z0*, ξt и ξt* являются независимыми случайными величинами с функциями распределения Hi(x), Hi*(x), i = 1, …, v, Kj (х), Kj*(х), j = 1, …, r, -∞ < х< ∞, соответственно и

μ1 (z0, z0*) = max ∫ |Hi(x) — Hi*(x)|dx, (9)

μ2t, ξt*) = max ∫ |Ki(x) — Ki*(x)|dx. (10)

Будем далее для краткости обозначать расстояния вида (9) и (10) l'(z0, z0*) и l(ξt, ξt*) соответственно, указывая тем самым, что они являются по существу L1-расстояниями.


Комментарии запрещены.





Статистика

Рейтинг@Mail.ru