Образовательный блог – всё для учебы

Рассмотрим однородный марковский процесс z_t, задаваемый рекуррентным соотношением вида (1.1.5), т. е.

z_t+1 = F(z_t, ?_t), t?0. (1)

Хотя результаты, приводимые в этой и следующей главах, имеют более общий характер, все же всюду будет считаться, что z_t задается именно соотношением вида (1). Будем смотреть на это соотношение как на преобразование «управляющей» последовательности {?_t} и начального состояния z₀ в последовательность {z_t} (удобно начальное состояние z₀ считать, с одной стороны, управляющим параметром, а с другой — управляемым).

Наряду с процессом z_t рассмотрим процесс z_t*, задаваемый соотношением

z_t+1* = F(z_t*,?_t*), t?0, (2)

и управляемый последовательностью {?_t*} и начальным состоянием z₀* . Далее будем называть процесс z_t невозмущенным, a z_t* — возмущенным.

Всюду считается, что последовательности {?_t} и {?_t*} состоят из независимых одинаково распределенных случайных векторов, принимающих значения из множества ?, наделенного метрикой ?_?.
Удобно предположить, что между управляющими последовательностями {?_t} и {?_t*}, а также между z₀ и z₀* существует статистическая связь. Именно, будем предполагать, что (z₀, z₀*), (?₀, ?₀*), (?₁, ?₁*), … есть последовательность независимых пар, но случайные величины, входящие в каждую из пар, вообще говоря, зависимы. Таким образом, возмущенный и невозмущенный процессы оказываются зависимыми и, в частности, зависимыми оказываются значения, принимаемые этими процессами в любой момент времени. Следует отметить, что любое конечномерное распределение процесса z_t определяется лишь через распределения начального состояния z₀ и элементов последовательности {?_t}. То же относится, естественно, и к процессу z_t*.

Рассмотрим пару x_t = {z_t, z_t*). Из соотношений (1) и (2) и ограничений, наложенных на последовательности (z₀, ?₀, ?₁, …) и (z₀, ?₀*, ?₁*, …), следует, что процесс x_t является однородным марковским. Вместе с тем и каждый из процессов z_t и z_t* тоже является однородным марковским. Далее буквой А будем обозначать производящий оператор любого из этих процессов. В тех случаях, когда это могло бы привести к недоразумениям, будут делаться необходимые оговорки. Обозначим также X = ZxZ множество состояний процесса x_t, ? = (z₀, ?₀, ?₁, …).
?* = (z₀*, ?₀*, ?₁*, …).

Нас будет интересовать вопрос, как сильно отличается процесс z_t* от процесса z_t, если последовательности {z₀*, ?₀*, ?₁*, …} и {z₀, ?₀, ?₁, …} в каком-то смысле близки.

Прежде чем давать ответ на этот вопрос, его нужно корректно поставить. Определения устойчивости, приводимые в этой и следующей главах, являются по существу различными (корректными) формулировками данного вопроса. Все эти определения естественным обрезом разбиваются на две группы. В одну включаются определения, учитывающие факт совместного задания процессов z_t и z_t*, а в другую —учитывающие лишь маргинальные характеристики этих процессов.

Определение 1. Процесс z_t называется устойчивым в среднем по времени, если для любого ? > 0 существуют постоянные ?₁ = ?₁(?) > 0, ?₂ = ?₂(?) > 0, такие, что при

M?_z(z₀, z₀*) < ?₁,
M?_?(?_t, ?_t*) < ?₂ (3)

имеет место

lim 1/k?P{?_z(z_t,z_t*)??}

Иногда удобно рассматривать то или иное свойство траектории при фиксированном начальном состоянии {z₀, z₀*). Дадим соответствующее видоизменение определения 1.

Определение 1′. Процесс z_t называется устойчивым в среднем по времени при начальном состоянии z₀ = z, z₀* = z*, если для любого ? >0 существует постоянная ? = ?(?) >0 такая, что при М?_?(?_t, ?_t*) < ? имеет место

lim 1/k?P_(z,z*){?_z(z_t,z_t*)??}

Отметим, что здесь и ниже определения будут приводиться в той форме, в которой они используются в доказательствах. Мы не будем останавливаться на эквивалентных модификациях вводимых определений.

Пусть существуют финальные распределения

Q(B) = lim P_z{z_t?B}, (5)
Q*(B)= lim P_z*{z_t*?B}, (6)

не зависящие от начальных состояний z и z* соответственно. Предположение о существовании финальных распределений (5) и (6) ведет, очевидно, к некоторым ограничениям, налагаемым лишь на маргинальные распределения последовательностей {z₀, ?₀, ?₁, …} и {z₀*, ?₀*, ?₁*, …). Обозначим через S множество таких последовательностей, для которых существуют финальные распределения вида (5) или (6). Пусть ?— некоторое расстояние между случайными величинами z₀ и z₀*, определяемое лишь через маргинальные распределения этих величин, а ?₂—аналогичное расстояние между ?_i и ?_i* (в силу предположения об одинаковой распределенности пар (?_i, ?_i*) значение расстояния ?₂ от индекса i не зависит).

Определение 2. Процесс z_t устойчив в пределе (слабо), если для любого ? > 0 существует постоянная ? = ?(?) >0 такая, что при (z₀, ?₀, …)?S, (z₀, ?₀, …)?S,

?₂(?_i, ?_i*) < ? (7)

имеет место

?(Q, Q*) < ? (8)

(? — расстояние Леви — Прохорова).

Определение 2 требует слабой сходимости финальных распределений процессов z_t при уменьшении возмущений, измеряемых расстояниями ?₁ и ?₂.

Далее особый интерес представит случай, когда компоненты векторов z₀, z₀*, ?_t и ?_t* являются независимыми случайными величинами с функциями распределения H_i(x), H_i*(x), i = 1, …, v, K_j (х), K_j*(х), j = 1, …, r, —? < х< ?, соответственно и

?₁ (z₀, z₀*) = max ? |H_i(x) — H_i*(x)|dx, (9)

?₂ (?_t, ?_t*) = max ? |K_i(x) — K_i*(x)|dx. (10)

Будем далее для краткости обозначать расстояния вида (9) и (10) l’(z₀, z₀*) и l(?_t, ?_t*) соответственно, указывая тем самым, что они являются по существу L₁-расстояниями.

1. Примеры устойчивости предельных режимов
2. Постановка задачи об устойчивости движения. Определение устойчивости по Ляпунову
3. Постановка задачи оценки распределения момента первого достижения
4. Постановка задачи поиска и оптимизации проектных решений
5. Марковские процессы с дискретным временем
6. Устойчивость регенерирующих процессов
7. Особенности определения устойчивости по Ляпунову
8. Процесс, построенный на последовательности необрывающихся процессов
9. Сведение многомерной задачи оптимизации к задаче одномерного глобального поиска
10. Примеры 1 и 2 моделей с дискретным временем
11. Преобразование задачи нелинейного программирования при помощи функций штрафов в последовательность задач безусловной оптимизации
12. Асимптотической устойчивости по Ляпунову. Неустойчивости по Ляпунову
13. Достижимость для процессов с дискретным временем
14. Оценка скорости сходимости в теореме восстановления
15. Условия оптимальности для задачи условной оптимизации
16. Достижимость для КЛП
17. Достаточные условия регулярности