Определение 1. Функции из множества ς = ς(ϑ) назовем ς(ϑ) -функциями (или, короче, ς-функциями). При этом функции из набора ϑ будем называть образующими.

Рассмотрим набор {l₁, …, l_m} линейных функций:

l_i (x) = (a_i, x) + b_i = ∑ a_ijx_i + b_i, 1≤i≤m. (12)

Определение 2. Функция f называется кусочно-линейной, порожденной набором {l₁,…, l_m}, если f∈ ς(l₁,…, l_m).

Для краткости будем называть такие функции просто кусочно-линейными. Иногда, чтобы подчеркнуть тот факт, что / по-рождается набором {l₁,…, l_m}, будем писать f = f(l₁,…, l_m).

Пусть функции f₁,…, f_r кусочно-линейные, порожденные {l₁,…, l_m}. Очевидно, ς(f₁,…, f_r) ⊂ ς(l₁,…, l_m).

Рассмотрим семейство из r ς(ϑ)-функций:
g₁(f₁,…, f_m), …, g_r(f₁,…, f_m).

Определение 3. Преобразование семейства функций ϑ в семейство ψ = (g₁,…, g_r), задаваемое равенствами

g_i = g₁(f₁,…, f_r), i=1,…, r,
назовем ς(ϑ) оператором (или ς(ϑ) -преобразованием). Если в качестве ϑ используется множество вида (12), то будем говорить о кусочно-линейном преобразовании.

Пусть имеются два ϑ-оператора: ς(ϑ)-оператор S₁: ϑ→ψ и ς(ψ) — оператор S₂: ψ→Ω имеющий вид

S₁(f₁,…, f_m) = [g₁(f₁, …, f_m),…, g_r(f₁, …, f_m)],

S₁(g₁,…, g_r) = [h₁(g₁,…, _r),…, h_k(g₁,…, g_r)].

Тогда можно определить оператор S = S₂S₁, S:ϑ→β, по следующему правилу:
S(f₁,…, f_m) = [h₁*(f₁,…, f_r),…, h_k*(f₁,…, f_r)];
где
h_i*(g₁(f₁,…, f_m) = h_i[g₁(f₁,…, f_m),…, g_r(f₁,…, f_m)], …

Очевидно, S является ς(ϑ)-оператором. В следующем посте оформим это утверждение в виде леммы.

Комментарии запрещены.