Определение: функций, кусочно-линейной функции

Определение 1. Функции из множества ς = ς(ϑ) назовем ς(ϑ) -функциями (или, короче, ς-функциями). При этом функции из набора ϑ будем называть образующими.

Рассмотрим набор {l1, …, lm} линейных функций:

li (x) = (ai, x) + bi = ∑ aijxi + bi, 1≤i≤m. (12)

Определение 2. Функция f называется кусочно-линейной, порожденной набором {l1,…, lm}, если f∈ ς(l1,…, lm).

Для краткости будем называть такие функции просто кусочно-линейными. Иногда, чтобы подчеркнуть тот факт, что / по-рождается набором {l1,…, lm}, будем писать f = f(l1,…, lm).

Пусть функции f1,…, fr кусочно-линейные, порожденные {l1,…, lm}. Очевидно, ς(f1,…, fr) ⊂ ς(l1,…, lm).

Рассмотрим семейство из r ς(ϑ)-функций:
g1(f1,…, fm), …, gr(f1,…, fm).

Определение 3. Преобразование семейства функций ϑ в семейство ψ = (g1,…, gr), задаваемое равенствами

gi = g1(f1,…, fr), i=1,…, r,
назовем ς(ϑ) оператором (или ς(ϑ) -преобразованием). Если в качестве ϑ используется множество вида (12), то будем говорить о кусочно-линейном преобразовании.

Пусть имеются два ϑ-оператора: ς(ϑ)-оператор S1: ϑ→ψ и ς(ψ) — оператор S2: ψ→Ω имеющий вид

S1(f1,…, fm) = [g1(f1, …, fm),…, gr(f1, …, fm)],

S1(g1,…, gr) = [h1(g1,…, r),…, hk(g1,…, gr)].

Тогда можно определить оператор S = S2S1, S:ϑ→β, по следующему правилу:
S(f1,…, fm) = [h1*(f1,…, fr),…, hk*(f1,…, fr)];
где
hi*(g1(f1,…, fm) = hi[g1(f1,…, fm),…, gr(f1,…, fm)], …

Очевидно, S является ς(ϑ)-оператором. В следующем посте оформим это утверждение в виде леммы.


Комментарии запрещены.





Статистика

Рейтинг@Mail.ru