Образовательный блог – всё для учебы

Приведем сначала вариант теоремы 3.1 для процессов с непрерывным временем. Здесь, как и раньше, через ?^Q обозначим момент первого достижения множества Q?Z, а через ?^R — момент первого выхода из множества {||z|| < R}.

Теорема 1. Пусть Q?Z и пусть существует неотрицательная функция V?D_A*, обладающая свойствами:

1) V_a = sup V(z) < ?, при любом а > 0;
2) v_a = inf V(z) ? ? при а ? ?;
3) ?₁^V(z) 0 при z?Z\Q;
4) ?₂^V(z) 0 при z?(Z\Q)*;

Тогда при любом z не принадлежащим Q:
P_z{?[(?^R = ?)?(?^Q < ?^R)]} = 1

Определение 1. Процесс z_t с начальным состоянием z₀ = z ограничен по вероятности, если
lim inf P_z{||z_t|| < c} = 1. (1)

Определение 2. Процесс z_t с начальным состоянием z₀ = z ограничен в среднем по времени, если

lim inf 1/t?P{||z_s|| < c}ds = 1. (2)

Очевидно, что регулярность является необходимым условием ограниченности в смысле определений 1 и 2. Из ограниченности процесса по вероятности следует, его ограниченность в среднем по времени, но, вообще говоря, не наоборот.

Ниже мы подробно рассмотрим лишь свойство ограниченности в среднем. Обобщение на случай ограниченности по вероятности будет дано без доказательства, которое почти дословно совпадает с приведенным в предыдущем посте.

Рассмотрим введенные в достаточных условиях регулярности (b, а) – циклы процесса z_t. Именно, пусть 0 < а< b, и пусть

?₀⁽¹⁾ — момент первого достижения траекторией процесса z_t множества {||z|| < а},

?₁⁽ⁱ⁾ — момент первого (после ?₀⁽ⁱ⁾) выхода траектории процесса z_t из множества {||z|| < b}, i ? 1,

?₀⁽ⁱ⁾ – момент первого (после ?₁^(i-1)) достижения траекторией процесса z_t множества {||z|| < a}, i ? 2.

Полуинтервалы вида [?₁⁽ⁱ⁾, ?₁⁽ⁱ⁺¹⁾) называются (b, а)-циклами процесса z_t.

Во избежание различных оговорок, предположим, что выполнено равенство

inf P_z{?^b < ?}= 1.

Легко понять, что это предположение не ограничивает общности.
Для каждого z?Z введем случайную величину ?_b^a(z) по формуле

?_b^a(z) = ?^a(z), ||z|| > a. (2)

т. е. при ||z|| > a определяемая величина равна времени ?^a(z) первого достижения множества {||z|| < a}, а при ||z|| < a величина ?_b^a(z) равна времени «возвращения» траектории процесса z_t в множество {|z|| < a}, отсчитываемому с момента начала очередного цикла. В случае дискретного времени в аналогичной ситуации достаточно было рассматривать просто время возвращения.

Теорема 2. Пусть существует неотрицательная функция V?D_A* такая, что выполнены следующие условия:

1) V_c = sup V(z) < ? при любом c > 0;
2) v_c = inf V(z) ? ? при С ? ?;
3) существуют числа а, b(0 < а < b), ? > 0 такие, что
а) ?₁^V(z) ? -?, ||z|| ? a, z?Z,
б) ?₂^V(z) ? 0, ||z|| ? a, z?Z*,
в) для некоторых 0 < ? <1 и ?* > 0
sup P_z{?^b ? ?*} < ?
г) sup M_zV(z₁¹) ? v* < ?,
д) семейство случайных величин ?_b^a(z), |z| < a, равномернее интегрируемо.

Тогда процесс z_t с произвольным начальным состоянием z₀ = z?Z ограничен в среднем по времени.

Теорема 3. Если выполнены все условия (кроме Зд)) теоремы 2 и, кроме того, семейство случайных величин ?_b^a(z), ||z|| < a, ультраравномерно интегрируемо, то процесс z_t с произвольным начальным состоянием z₀ = z?Z ограничен по вероятности.

Изменения, которые необходимо произвести в доказательстве теоремы 2 для доказательства теоремы 3, аналогичны соответствующим изменениям, произведенным в ограниченности для процессов с дискретным временем.

Как следует из результатов достижимости для КЛП, условия равномерной и ультраравномерной интегрируемости в теоремах 2 и 3 соответственно могут быть также сформулированы в терминах пробных функций (аналогичные результаты приведены в следствии 1 теоремы 2 и следствии 1 теоремы 3).

Следующая теорема раскрывает взаимосвязь между свойством достижимости и существованием у процесса z_t стационарного распределения.
Рассмотрим введенную выше «вложенную» цепь Маркова z_n⁰. Обозначим через P⁰{z; ?} ее переходную функцию, т. е.

P⁰{z; B}=P{z_n+1⁰?B|z_n⁰ = z}.

Теорема 4. Пусть у цепи Маркова {z_n⁰ существует стационарное распределение ?*, т.е.

??*(dz)P⁰(z; B) = ?*(B) для любого B?{||z|| < a}

и

sup M_z?₀⁽²⁾ < ?. (24)

Тогда у процесса z_t существует стационарное вероятностное распределение ?.

Целесообразно отметить, что распределение ?, может быть эффективно построено с помощью ?*, причем это построение имеет весьма наглядную интерпретацию.

Пусть В?Z. Обозначим через ?_i^B суммарное время, проводимое процессом z_t в множестве В на полуинтервале [?₀⁽ⁱ⁾, ?₀⁽ⁱ⁺¹⁾). Если начальное состояние процесса z_t распределено по закону ?*, то величины ?_i^B, i > 1, распределены одинаково. В этом случае нижний индекс i будем опускать. Рассмотрим при каждом В?Z величину

v(B)= ??*(dz)M_z?^B,

равную среднему времени, проводимому процессом z_t на полуинтервале [?₀⁽ⁱ⁾, ?₀⁽ⁱ⁺¹⁾) в множестве В при начальном распределении ?*. Конечность величин v(B) гарантируется условием (24). Тогда стационарное распределение ?, упоминаемое в теореме 4, можно выбрать в виде

?(В) =v(B)/v(Z). (25)

Распределение (25) играет важную роль при рассмотрении закона больших чисел.

1. Ограниченность для процессов с дискретным временем
2. Оценки в случае непрерывного времени
3. Достижимость для процессов с дискретным временем
4. Достаточные условия регулярности
5. Оценки в случае дискретного времени
6. Достижимость для КЛП
7. Равномерно интегрируемые случайные величины
8. Марковские процессы с дискретным временем
9. Усиленный закон больших чисел
10. Теоремы достижимости и ограниченности
11. Кусочно-линейные марковские процессы с непрерывным временем
12. Постановка задачи оценки распределения момента первого достижения
13. Процесс, построенный на последовательности необрывающихся процессов
14. Примеры устойчивости предельных режимов
15. Устойчивость регенерирующих процессов
16. Качественные свойства, представляющие интерес при разработке сложных систем
17. Оценка скорости сходимости в теореме восстановления