Образовательный блог – всё для учебы

В этом посте мы обобщим результаты, полученные ранее, на случай кусочно-линейных процессов. Вновь Q будет обозначать открытое множество в пространстве состояний Z, а ?^Q — момент первого выхода из указанного множества. Как было доказано ранее (это доказательство без изменений переносится и на непрерывное время), при ? = ?^Q?u имеет место равенство

M_z[1 - ?_Q(z_?)] = P_z{?^Q?u}.

Основой для оценок служит формула (1.3.9). Перепишем ее для случая, который будет использован. Именно, пусть u — фиксированный момент времени, ? = ?^Q?u, V?D_A. Тогда

M_zV(z_?) = V(z) + M_z??₁^V(z_s)ds + M_z??₂^V(z_n*) (2)

где величины ?₁^V(z) и ?₂^V(z) введены при определении множества D_A.

Лемма 1. Если V?D_A, V(z) = 1 при z не принадлежит Q и ? = ?^Q?u, то

P_z{?^Q?u} = V(Z) + M_z??₁^V(z_s)ds + M_z??₂^V(z_n*) – M_z{V(z_u?^Q > u}. (3)

Доказательство следует из формулы (2).

Дадим теперь ряд оценок функции распределения P_z{?^Q ? t}. Здесь мы ограничимся лишь формулировками и доказательствами соответствующих результатов.

Теорема 1. Пусть существует функция V(z), z?Z, удовлетворяющая условиям:
1) V?D_A,
2) V(z) ? 1 – ?_Q(z), z?Z, inf V(z) = V_- < 1,
3) ?₁^V(z) ? ?₁*, ?₁* ? 0, z?Q,
4) ?₁^V(z) ? ?₁*, ?₂* ? 0, z?Q*.

Тогда

P_z{?^Q ? t} ? V(z) + ?₁t* + ?₂M_z(?^Q?t). (4)

Доказательство следует из формул (1), (2).

Теорема 2. Пусть существует функция V(z), z?Z, удовлетворяющая условиям:
1) V?D_A,
2) V(z) ? 1 – ?_Q(z), z?Z,
3) ?₁^V(z) ? aV(z) при некотором a > 0,
4) ?₁^V(z) ? 0, z?Q*.

Тогда

P_z{?^Q ? t} ? V(z)e^at

Доказательство. Рассмотрим наряду с процессом z_t процесс, остановленный в момент первого выхода из Q. Обозначим его z_t*, т. е.

z_t* = z_t, t < ?^Q,
z_t* = z_?Q, t ? ?^Q,

и все величины, относящиеся к нему, будем отмечать сверху
волной. Тогда

?₁*(z) = ?₁^V(z), z?Q,
?₁*(z) = 0, z?Z\Q,

?₂*(z) = ?₂^V(z), z?Q*,
?₂*(z) = 0, z?Z*\Q*,

Таким образом, если пробная функция V удовлетворяет условиям данной теоремы для процесса z_t, то оно с необходимостью удовлетворяет этим же условиям для процесса z_t.
Пусть ? = ?^Q?t. Тогда

P_z{?^Q ? t} ? M_zV(z_?) = M_zV(z_t*). (6)

Но в силу формулы (2), примененной к процессу z_t* и моменту ?=t,

M_zV(z_t*) ? V(z) + ?aM_zV(z_s*)ds. (7)

Из (7) следует, что M_zV(z_t*), как функция t, удовлетворяет неравенству

MV(z_t*) ? V(z)e^at. (8)

Сопоставляя неравенства (6) и (8), получаем утверждение теоремы.

В следующих теоремах 3—7 даются двусторонние оценки функции P_z{?^Q ? t}. Однако их условия являются довольно жесткими для кусочно-линейных процессов с дискретным вмешательством случая, так что оценки для КЛП, получаемые с помощью данных теорем, не имеют универсального характера.

Теорема 3. Пусть существует функция V (z), z?Z, удовлетворяющая условиям:
1) V?D_A*,
2) -? < V_- ? inf V (z) ? sup V (z) ? V₊ < 1,
3) V (z) = 1 при z не принадлежит Q,
4) ?₁^V(z) = ? = const при z?Q,
5) ?₂^V(z) = 0 при z?Q*.
Тогда

1 – (1 – V(z))/(1 – V₊)exp(-?t/(1-V_-) ? P_z{?^Q ? t} ?
1 – (1 – V(z))/(1 – V_-)exp(-?t/(1-V₊)

Теорема 4. В условиях теоремы, 3 (однако можно допустить V_- = —?) справедливо равенство

M_z?^Q = (1 – V(z))/?. (12)

Доказательство повторяет дословно доказательство теоремы 2.4, с той лишь разницей, что вместо формулы (1.3.9) необходимо использовать формулу (2), в которой следует положить ? = ?^Q.

Теорема 5. Пусть существует функция V(z), z?Z, удовлетворяющая условиям 1)—3) и 5) теоремы 3 и, кроме того,

0 < ?_- ? ?₁^V(z) ? ?₊ < ?, z?Q. (13)

Тогда

1 - (1 - V(z))/(1 - V₊)exp(-?_-t/(1-V_-) ? P_z{?^Q ? t} ?
1 – (1 – V(z))/(1 – V_-)exp(-?₊t/(1-V₊). (15)

Теорема 6. Пусть существует функция V(z), z?Z, удовлетворяющая условиям:
1) V?D_A*,
2) max V(z) = 1,
3) V(z) ? 1 – ?_Q(z), z?Z,
4) ?₁(z) = R[1 - V(z)], z?Q,
?₁(z) = 0, z?Q*. (16)

Тогда

P_z{?^Q ? t} ? 1 – e^-Rt[1 - V(z)]. (17)

Доказательство. Как и при доказательстве теоремы 2, рассмотрим наряду с процессом z_t процесс z_t*, остановленный в момент первого выхода из Q. Тогда в силу условий данной теоремы все утверждения теоремы 2 до формулы (6) включительно остаются справедливыми. В то же время из формулы (2) с помощью (16) следует, что

M_zV(z_t*) = V (z) + R?M_z[1 - V(z_s*]ds. (18)

Решая линейное уравнение (18) относительно функции M_zV(z_t*), рассматриваемой как функция времени, находим, что

M_zV(z_t*) = 1 – e^-Rt[1 - V(z)].

Отсюда в силу (6) получаем доказываемое неравенство (17),

В случае непрерывного времени также возможно получение асимптотических неравенств.

1. Оценки в случае дискретного времени
2. Верхняя и нижняя оценки для хроматического числа. Внутренне и внешне устойчивые множества вершин графа
3. Пример процесс рождения и гибели. Многолинейная система массового обслуживания с относительным приоритетом
4. Равномерно интегрируемые случайные величины
5. Леммы – модели систем с дискретным временем
6. Булевы свойства логических операций. Эквивалентные преобразования формул
7. Класс самодвойственных функций и его замкнутость относительно суперпозиции. Критерий самодвойственности. Лемма о несамодвойственной функции.
8. Класс монотонных функций и его замкнутость относительно суперпозиции
9. Теоремы достижимости и ограниченности
10. Достижимость для процессов с дискретным временем
11. Постановка задачи оценки распределения момента первого достижения
12. Достаточные условия регулярности
13. Ограниченность для КЛП
14. Устойчивость на всей оси времени
15. Достижимость для КЛП
16. СДНФ и СКНФ
17. Теорема Кэли о числе помеченных деревьев с р вершинами