Оценки в случае непрерывного времени

В этом посте мы обобщим результаты, полученные ранее, на случай кусочно-линейных процессов. Вновь Q будет обозначать открытое множество в пространстве состояний Z, а θQ — момент первого выхода из указанного множества. Как было доказано ранее (это доказательство без изменений переносится и на непрерывное время), при τ = θQ∧u имеет место равенство

Mz[1 — χQ(zτ)] = PzQ≤u}.

Основой для оценок служит формула (1.3.9). Перепишем ее для случая, который будет использован. Именно, пусть u — фиксированный момент времени, τ = θQ∧u, V∈DA. Тогда

MzV(zτ) = V(z) + Mz∫Δ1V(zs)ds + Mz∑Δ2V(zn*) (2)

где величины Δ1V(z) и Δ2V(z) введены при определении множества DA.

Лемма 1. Если V∈DA, V(z) = 1 при z не принадлежит Q и τ = θQ∧u, то

PzQ≤u} = V(Z) + Mz∫Δ1V(zs)ds + Mz∑Δ2V(zn*) — Mz{V(zuθQ > u}. (3)

Доказательство следует из формулы (2).

Дадим теперь ряд оценок функции распределения PzQ ≤ t}. Здесь мы ограничимся лишь формулировками и доказательствами соответствующих результатов.

Теорема 1. Пусть существует функция V(z), z∈Z, удовлетворяющая условиям:
1) V∈DA,
2) V(z) ≥ 1 — χQ(z), z∈Z, inf V(z) = V < 1, 3) Δ1V(z) ≤ Δ1*, Δ1* ≥ 0, z∈Q,
4) Δ1V(z) ≤ Δ1*, Δ2* ≥ 0, z∈Q*.

Тогда

PzQ ≤ t} ≤ V(z) + Δ1t* + Δ2MzQ∧t). (4)

Доказательство следует из формул (1), (2).

Теорема 2. Пусть существует функция V(z), z∈Z, удовлетворяющая условиям:
1) V∈DA,
2) V(z) ≥ 1 — χQ(z), z∈Z,
3) Δ1V(z) ≤ aV(z) при некотором a > 0,
4) Δ1V(z) ≤ 0, z∈Q*.

Тогда

PzQ ≤ t} ≤ V(z)eat

Доказательство. Рассмотрим наряду с процессом zt процесс, остановленный в момент первого выхода из Q. Обозначим его zt*, т. е.

zt* = zt, t < θQ,
zt* = zθQ, t ≥ θQ,

и все величины, относящиеся к нему, будем отмечать сверху
волной. Тогда

Δ1*(z) = Δ1V(z), z∈Q,
Δ1*(z) = 0, z∈Z\Q,

Δ2*(z) = Δ2V(z), z∈Q*,
Δ2*(z) = 0, z∈Z*\Q*,

Таким образом, если пробная функция V удовлетворяет условиям данной теоремы для процесса zt, то оно с необходимостью удовлетворяет этим же условиям для процесса zt.
Пусть τ = θQ∧t. Тогда

PzQ ≤ t} ≤ MzV(zθ) = MzV(zt*). (6)

Но в силу формулы (2), примененной к процессу zt* и моменту τ=t,

MzV(zt*) ≤ V(z) + ∫aMzV(zs*)ds. (7)

Из (7) следует, что MzV(zt*), как функция t, удовлетворяет неравенству

MV(zt*) ≤ V(z)eat. (8)

Сопоставляя неравенства (6) и (8), получаем утверждение теоремы.

В следующих теоремах 3—7 даются двусторонние оценки функции PzQ ≤ t}. Однако их условия являются довольно жесткими для кусочно-линейных процессов с дискретным вмешательством случая, так что оценки для КЛП, получаемые с помощью данных теорем, не имеют универсального характера.

Теорема 3. Пусть существует функция V (z), z∈Z, удовлетворяющая условиям:
1) V∈DA*,
2) -∞ < V ≤ inf V (z) ≤ sup V (z) ≤ V+ < 1, 3) V (z) = 1 при z не принадлежит Q, 4) Δ1V(z) = Δ = const при z∈Q,
5) Δ2V(z) = 0 при z∈Q*.

Тогда

1 — (1 — V(z))/(1 — V+)exp(-Δt/(1-V) ≤ PzQ ≤ t} ≤
1 — (1 — V(z))/(1 — V)exp(-Δt/(1-V+)

Теорема 4. В условиях теоремы, 3 (однако можно допустить V = -∞) справедливо равенство

MzθQ = (1 — V(z))/Δ. (12)

Доказательство повторяет дословно доказательство теоремы 2.4, с той лишь разницей, что вместо формулы (1.3.9) необходимо использовать формулу (2), в которой следует положить τ = θQ.

Теорема 5. Пусть существует функция V(z), z∈Z, удовлетворяющая условиям 1)—3) и 5) теоремы 3 и, кроме того,

0 < Δ ≤ Δ1V(z) ≤ Δ+ < ∞, z∈Q. (13)

Тогда

1 — (1 — V(z))/(1 — V+)exp(-Δt/(1-V) ≤ PzQ ≤ t} ≤
1 — (1 — V(z))/(1 — V)exp(-Δ+t/(1-V+). (15)

Теорема 6. Пусть существует функция V(z), z∈Z, удовлетворяющая условиям:
1) V∈DA*,
2) max V(z) = 1,
3) V(z) ≥ 1 — χQ(z), z∈Z,
4) Δ1(z) = R[1 — V(z)], z∈Q,
Δ1(z) = 0, z∈Q*. (16)

Тогда

PzQ ≤ t} ≤ 1 — e-Rt[1 — V(z)]. (17)

Доказательство. Как и при доказательстве теоремы 2, рассмотрим наряду с процессом zt процесс zt*, остановленный в момент первого выхода из Q. Тогда в силу условий данной теоремы все утверждения теоремы 2 до формулы (6) включительно остаются справедливыми. В то же время из формулы (2) с помощью (16) следует, что

MzV(zt*) = V (z) + R∫Mz[1 — V(zs*]ds. (18)

Решая линейное уравнение (18) относительно функции MzV(zt*), рассматриваемой как функция времени, находим, что

MzV(zt*) = 1 — e-Rt[1 — V(z)].

Отсюда в силу (6) получаем доказываемое неравенство (17),

В случае непрерывного времени также возможно получение асимптотических неравенств.


Комментарии запрещены.





Статистика

Рейтинг@Mail.ru