Оценка скорости сходимости в теореме восстановления

Цель настоящего примера — показать, как свойство достижимости может быть использовано в несколько необычной ситуации— для оценки скорости сходимости. Пусть {ξi} — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, принимающих следующие значения:
Sn = ∑ξi, n ≥ 1; a(t) = P {ξi=t}, H(t) = P {ξi≥t}; h(t) = P{∪(Si = t)}, t = 1,2 ..

Все случайные величины, которые будут встречаться в данном примере, будут принимать лишь натуральные значения. Поэтому это всякий раз оговариваться не будет. Пусть Г = {t:a(t) >0}— «носитель» распределения {a(t)}. Предположим, что наибольший общий делитель (НОД) чисел из Г равен 1, т. е. имеет место «непериодический» случай. Часто величины ξi интерпретируют как интервалы между рекуррентными событиями. Тогда h(t) есть вероятность наступления рекуррентного события в момент t. Момент наступления рекуррентного события назовем моментом восстановления, а процесс {Sn} — процессом восстановления. Пусть

i = μ < ∞.

Хорошо известно, что в сделанных предположениях функция h(t) имеет предел при t → ∞ и

lim h(t) = μ-1.

Впрочем, этот факт будет попутно доказан. Оценим |h(t) — μ-1|.
Рассмотрим для этого еще одну последовательность независимых случайных величин {ξi}; σn = ∑ζi, n ≥ 1.

Так построенный процесс {σn} является стационарным процессом восстановления, и для него u(t) = μ-1. Это по индукции следует из рекуррентных соотношений

u(1) = b(1) = 1/μ.

Поэтому задача оценки |h(t) — μ-1| эквивалентна оценке |h(t) — u(t)|.

Пусть I+ = {1, 2, …}. Свяжем с рассматриваемыми последовательностями однородную цепь Маркова zt с множеством значений Z = I+xI+, zt = (xt, уt). Координаты xt и уt — это времена, оставшиеся до «моментов восстановления» в процессах {Sn} и {σn} соответственно. Иными словами, если xt = х, yt = у, то момент t + x является ближайшим моментом восстановления для первого процесса, a t + y — для второго.

Цепь Маркова zt зададим парой рекуррентных соотношений

xt+1 = F(xt, ηt), yt+1 = F(yt, ηt),

где {ηt} — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, Р {ηt = k} = a(k), а начальное состояние (х0, у0) является случайным распределением.

Выбор начального распределения не является обязательным и служит лишь целям минимизации получаемых оценок. Можно показать, что величина М|х0 — у0| достигает минимума именно при заданном совместном распределении (эти вопросы рассматриваются в следующих постах) и

М|х0 — у0| = ∑|H(t) — U(t)|.

Из рекуррентных соотношений, определяющих цепь Маркова (xt, yt), следует, что множество состояний L = {(х, у) : х = у∈I+} является замкнутым для рассматриваемой цепи, т. е. если хa = уa в некоторый момент τ, то xt = yt при всех t ≥ τ с вероятностью 1.

Из построения цепи следует, что координаты х и у действительно имеют смысл остаточных времен до точек восстановления и справедливы равенства

h(t) = Р{xt-1 = 1}, t ≥ 1,
u(t) = P{yt-1 = 1}, t ≥ 1.

|h(t) — u(t)| ≤ P{xt-1 ≠ yt-1}. (41)

Обозначим через θ момент первого достижения траекторий процесса zt множества L. В силу замкнутости L

P{xt-1 ≠ yt-1} =Р{θ ≥ t). (42)

Таким образом, задача свелась к оценке распределения момента первого достижения θ.

Для сокращения записи обозначим Р0{•} = Р{•; х0 ≠ y0}, M0{•} = M{•; х0 ≠ y0} и оценим Р{θ ≥ t) с помощью неравенства Чебышева

P{θ ≥ t} ≤ 1/t [M0{θ; x0 ∨ y0 t } + tP0{x0 ∨ y ≥ t}]


Комментарии запрещены.





Статистика

Рейтинг@Mail.ru