Образовательный блог – всё для учебы

Цель настоящего примера — показать, как свойство достижимости может быть использовано в несколько необычной ситуации— для оценки скорости сходимости. Пусть {?_i} — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин.
Все случайные величины, которые будут встречаться в данном примере, будут принимать лишь натуральные значения. Поэтому это всякий раз оговариваться не будет. Пусть Г = {t:a(t) >0}— «носитель» распределения {a(t)}. Предположим, что наибольший общий делитель (НОД) чисел из Г равен 1, т. е. имеет место «непериодический» случай. Часто величины ?_i интерпретируют как интервалы между рекуррентными событиями. Тогда h(t) есть вероятность наступления рекуррентного события в момент t. Момент наступления рекуррентного события назовем моментом восстановления, а процесс {S_n} — процессом восстановления. Пусть

M?_i = ?.

Хорошо известно, что в сделанных предположениях функция h(t) имеет предел при t ? ? и

lim h(t) = ?^-1.

Впрочем, этот факт будет попутно доказан. Оценим |h(t) – ?^-1|.
Рассмотрим для этого еще одну последовательность независимых случайных величин {?_i}; ?_n = ??_i, n ? 1.

Так построенный процесс {?_n} является стационарным процессом восстановления, и для него u(t) = ?^-1. Это по индукции следует из рекуррентных соотношений

u(1) = b(1) = 1/?.

Поэтому задача оценки |h(t) – ?^-1| эквивалентна оценке |h(t) – u(t)|.

Пусть I₊ = {1, 2, …}. Свяжем с рассматриваемыми последовательностями однородную цепь Маркова z_t с множеством значений Z = I₊xI₊, z_t = (x_t, у_t). Координаты x_t и у_t — это времена, оставшиеся до «моментов восстановления» в процессах {S_n} и {?_n} соответственно. Иными словами, если x_t = х, y_t = у, то момент t + x является ближайшим моментом восстановления для первого процесса, a t + y — для второго.

Цепь Маркова z_t зададим парой рекуррентных соотношений

x_t+1 = F(x_t, ?_t), y_t+1 = F(y_t, ?_t),

где {?_t} — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, Р {?_t = k} = a(k), а начальное состояние (х₀, у₀) является случайным распределением.

Выбор начального распределения не является обязательным и служит лишь целям минимизации получаемых оценок. Можно показать, что величина М|х₀ – у₀| достигает минимума именно при заданном совместном распределении (эти вопросы рассматриваются в следующих постах) и

М|х₀ – у₀| = ?|H(t) – U(t)|.

Из рекуррентных соотношений, определяющих цепь Маркова (x_t, y_t), следует, что множество состояний L = {(х, у) : х = у?I₊} является замкнутым для рассматриваемой цепи, т. е. если х_a = у_a в некоторый момент a, то x_t = y_t при всех t > a с вероятностью 1.

Из построения цепи следует, что координаты х и у действительно имеют смысл остаточных времен до точек восстановления и справедливы равенства

h(t) = Р{x_t-1 = 1}, t > 1,
u(t) = P{y_t-1 = 1}, t > 1.

|h(t) – u(t)| ? P{x_t-1 ? y_t-1}. (41)

Обозначим через ? момент первого достижения траекторий процесса z_t множества L. В силу замкнутости L

P{x_t-1 ? y_t-1} =Р{? ? t). (42)

Таким образом, задача свелась к оценке распределения момента первого достижения ?.

Для сокращения записи обозначим Р⁰{•} = Р{•; х₀ ? y₀}, M⁰{•} = M{•; х₀ ? y₀} и оценим Р{? ? t) с помощью неравенства Чебышева.

1. Устойчивость регенерирующих процессов
2. Ограниченность для КЛП
3. Теоремы достижимости и ограниченности
4. Примеры 1 и 2 моделей с дискретным временем
5. Ограниченность для процессов с дискретным временем
6. Достижимость для процессов с дискретным временем
7. Равномерно интегрируемые случайные величины
8. Числовые характеристики случайных величин
9. Усиленный закон больших чисел
10. Сходимость и метрики
11. Дисперсия, среднее квадратическое отклонение
12. Оценки в случае непрерывного времени
13. Экспоненциальный закон – теория вероятностей
14. Количественная оценка надежности
15. Система обслуживания с относительным приоритетом
16. Скорости электронов
17. Пример многолинейной системы обслуживания с ожиданием