Леммы — модели систем с дискретным временем

Лемма 1. Если S1 — ς(ϑ)-оператор, S1 : ϑ→ψ, S2ς(ψ)-оператор, S2:ψ→β, то оператор S = S2S1 является ς(ϑ)-оператором.

Покажем, что оператор R, упорядочивающий координаты вектора по возрастанию является ς-оператором. Пусть дан m-мерный вектор (f1, …, fm). Легко проверить, что оператор R задается равенством

R(f1, …, fm)=[g1(f1, …, fm),…, gm(f1, …, fm)], (13)

где

gi(f1, …, fm) = max [(max fj)∧(min fj)] 1 ≤ i < m, gm(f1, …, fm) = max fj

a m—множество различных выборок размера i из набора
(1,…, m).

Из вида (13) функций gi и утверждения леммы 1 следует, что они являются ς(ϑ)-функциями, и, следовательно, R — ς-оператор.

Сформулируем несколько важных свойств ς-функций.

Лемма 2. Пусть g — ς-функция, порождаемая набором (f1, …, fm). Тогда при любых х, х’ ∈Rv,

|g(x) — g(x’)| ≤ max |fi(x) — fi(x’)|. (14)

Доказательство. Пусть g ∈ ςk(ϑ). Доказательство проведем индукцией по k.

Для k = 1 утверждение тривиально.

Пусть лемма верна для некоторого k. Докажем, что тогда она верна для значения k + 1. В самом деле, если g∈ςk+1, то либо g∈ςk и тогда справедливость леммы следует из предположения индукции, либо (в силу (11)) g..имеет вид g = g12 или g = g12, где gi∈ςk(ϑ), i =1, 2.

Но для любых функций g1 и 2 справедливы неравенства

|g12(x) — g12(x’)l ≤ |g1(x) — g1(x’)| ∨|g2(x) — g2(x’)|, (15)

|g12(x) — g12(x’)l ≤ |g1(x) — g1(x’)| ∨|g2(x) — g2(x’)|, (16)

и, пользуясь предположением индукции, получаем утверждение леммы.

Лемма 3. Пусть g является ς-функцией, порожденной набором ϑ = (f1, …, fm). Тогда при любом действительном числе λ функция λg также является ς-функцией, порождаемой набором
(λf1, …, λfm).

Доказательство. Пусть g∈ςk, и пусть g1, g2 — ς-функции, порождаемые набором ϑ, g1∈ς1, g2∈ςs, l < k, s < k, причем либо g = g1 ∨ g2, либо g = g1 ∧ g2.

Если λ > 0, то либо

λg = λ(g1 ∨ g2) = λg1 ∨ λg2, (17)
либо
λg = λ(g1 ∧ g2) = λg1 ∧ λg2. (18)

Если λ < 0, то либо

λg = λ(g1 ∨ g2) = λg1 ∨ λg2, (19)
либо
λg = λ(g1 ∧ g2) = λg1 ∧ λg2. (29)

Из (17) — (29), учитывая способ построения ς-функций (11), по индукции элементарно получается утверждение леммы.

Лемма 4. Пусть g является ς-функцией, порождаемой набором (f1, …, fm). И пусть f — некоторая функция, заданная на Rv (где заданы и все fi). Тогда функция g+f также является ς-функцией, порождаемой набором (f1+f, …, fm+f).

Доказательство с очевидностью следует из (11).

Лемма 5. Пусть g1=g1(f1, …, fm) и g2=g2(h1, …, hm) две ς-функции. Тогда при любых действительных λ1 и λ2 функция λ1g12g2 является ς-функцией, порождаемой набором {λ1gi2gj}, i = 1, …, m, j = 1, …, k.

Доказательство. В силу лемм 3 и 4 функция λ1g12g2 является ς-функцией, порождаемой набором {λ1f12g2,…, λ1fm2g2}. В свою очередь, из тех же лемм следует, что каждая из функций λ1fi2g2 этого набора является ς-функциеи, порождаемой набором {λ1fi2h1,…, λ1fi2hk}, откуда следует утверждение леммы.

Широкий класс систем массового обслуживания описывается рекуррентным соотношением (1.5) с функцией F, являющейся кусочно-линейным преобразованием. Так, с помощью лемм

1—5 легко видеть, что функции, стоящие в правых частях равенств (2), (3), (6), (8) являются кусочно-линейными преобразованиями. Вид преобразований дается указанными равенствами. Приведем лишь вид образующих функций. В примере 2 — это соответственно функции
l1(z, ξ) = ξ, l2(z, ξ) = z + ξ (для уравнения (2)),
l1(w, ξ) = 0, l2{w, ξ) = w + ξ (для уравнения (3)).


Оставить комментарий





Статистика

Рейтинг@Mail.ru