А. Свойство регулярности
Хорошо известно, что существуют дифференциальные уравнения, решения которых определены лишь до некоторого конечного момента. Поэтому, если данные уравнения являются моделью какой-либо системы, то различные ее свойства могут изучаться лишь на конечном интервале времени. В то же время, как правило, требуется, чтобы движение системы было задано на бесконечном интервале времени. В связи с этим появилось свойство неограниченной продолжаемости решений, название которого говорит само за себя. Свойство иметь конечное время определения известно и для случайных процессов, когда может происходить накопление точек скачков процесса в конечные моменты времени либо, как и для решений дифференциальных уравнений, совершаться «уход в бесконечность» за конечное время. Ясно, что такие явления не присущи реальным системам, поскольку такие нерегулярности связаны в этом случае с бесконечной скоростью расходования некоторых ресурсов. Моделирование на ЭВМ процессов, обладающих указанными нерегулярностями, принципиально невозможно, так как любая из них влечет аварийную остановку процесса счета. Поэтому при создании математической модели некоторой системы необходимо проверить, удовлетворяет ли она свойству регулярности.

Б. Свойства процесса, связанные с моментами первого достижения
Пусть в пространстве состояний изучаемого процесса зафиксировано некоторое множество В, и пусть η^B — момент первого достижения процессом этого множества. Часто представляет интерес вопрос о конечности η^B. Если η^B — случайная величина, то содержательной является за-дача об оценках (одно- или двусторонних) ее функции распределения или моментных характеристик. В теории дифференциальных уравнений подобные постановки приводят к понятию практической или технической устойчивости. Для стохастических систем эти постановки приобретают большую глубину. Чтобы пояснить это, достаточно рассмотреть некоторые практические задачи, приводящие к необходимости анализа указанных проблем. В терминах времени первого достижения формулируются задачи оценки надежности, нахождения периодов занятости, времени ожидания, моментов потери требований для систем массового обслуживания, моментов опустошения и переполнения складов в задачах управления запасами, длительностей периодов регенерации для регенерирующих процессов и т. д. Причем, если, скажем, для «классических» задач теории надежности особую важность представляет верхняя оценка функции распределения момента первого выхода из области «рабочих» состояний (ненадежности системы), то для систем массового обслуживания часто представляет интерес конечность первого и более высоких моментов случайного времени первого возвращения в фиксированное множество, что влечет, например, существование стационарного режима.

Таким образом, различные оценки одной и той же величины приводят к различным практическим задачам. В частности, упомянутая выше оценка моментов времени первого возвращения в фиксированное множество (или даже сам факт конечности этих моментов) позволяет дать рекомендации по сокращению времени моделирования, потребного для получения необходимой точности счета.

В. Ограниченность
Подобно тому, как в теории дифференциальных уравнений вводится понятие ограниченности или устойчивости по Лагранжу, можно ввести аналогичное понятие и для стохастических систем, но при этом могут возникнуть раз-личные понятия ограниченности. В книге изучаются свойства ограниченности по вероятности и в среднем по времени. Эти понятия содержательны лишь для регулярных процессов и тесно связаны с конечностью моментов времени возвращения, с вопросами существования у процессов «установившихся» режимов и с предельными закономерностями типа законов больших чисел. Наличие свойства ограниченности позволяет искать равномерные по времени оценки на процесс. Анализ ограниченности необходим также и при исследовании таких систем, в которых требуется не увеличивать запасы, очередь и т. п.

Г. Устойчивость
Под устойчивостью будем понимать непрерывную зависимость некоторых показателей работы системы от ее параметров. Устойчивость может рассматриваться на конечных, бесконечных промежутках времени и в пределе (t → ∞). Устойчивость на конечных интервалах времени в каком-то смысле аналогична известному свойству непрерывной зависимости решений дифференциальных уравнений от начальных данных или других параметров и, по-видимому, имеет место для широкого класса систем при весьма слабых предположениях. Мы будем интересоваться более содержательными понятиями предельной устойчивости и устойчивости на бесконечных промежутках времени. Аналогичные понятия имеются и в теории дифференциальных уравнений (устойчивость по Ляпунову и ее обобщения).

Процессы, изучаемые в книге, обладают той существенной особенностью, что для них невозмущенное движение принципиально невозможно считать известным, и данное обстоятельство приводит к значительным трудностям. Кроме того, как уже отмечалось, в сложных системах параметры часто имеют не числовую природу. Это порождает существенную зависимость устойчивости от вводимых метрик или топологий. Такое явление «не¬типично» для дифференциальных уравнений. В результате анализа устойчивости формулируются требования к методам обработки исходной и выходной информации, поскольку эти методы должны быть «согласованы» с метриками, в терминах которых формулируется и имеет место устойчивость.

Перечисленные свойства систем, несмотря на их очевидную теоретическую и прикладную важность, до сих пор слабо исследованы в применении к сложным стохастическим системам.

Комментарии запрещены.