Достижимость для процессов с дискретным временем

Пусть Q — некоторое подмножество Z. Обозначим через ηQ момент первого достижения множества Q траекторий рассматриваемого процесса zt, т. е.

ηQ = min{t: zt∈Q, t>0}; (1)

Отметим, что с формальной точки зрения вместо момента первого достижения можно было бы рассматривать момент первого выхода, поскольку ηQ = θZ\Q. Однако, как было сказано во введении, изучение указанных случайных величин приводит к различным прикладным задачам.

Здесь будут изучаться вопросы конечности величин вида МzG(ηQ) для различных функций G(t), t ≥ 0. В частности, если G(t) = tγ то получаем момент порядка γ величины ηQ.

Определение 1. Пусть G(t), t ≥ 0 — некоторая неотрицательная функция. Назовем множество Q⊂Z G-достижимым из точки z∈Z, если

МzG(ηQ) < ∞. (2)

Определение 2. Множество Q⊂Z назовем достижимым из точки z∈Z, если

МzηQ < ∞. (3)

Введенные понятия обобщают понятия возвратности и достижимости, играющие важную роль в теории цепей Маркова.

Для изучения свойств G-достижимости рассмотрим наряду с исходным процессом zt «расширенный» процесс xt = (zt, t), у которого время является одной из компонент состояния. Процесс xt вновь является однородным марковским). Пусть, как и ранее, А — производящий оператор процесса zt. Обозначим А* производящий оператор процесса xt. Вообще, крышкой будем отмечать величины, относящиеся к процессу xt и аналогичные соответствующим величинам, относящимся к процессу zt. Множеством состояний процесса xt является X = Zx{0, 1, 2, …}.

Пусть Q* = Qx{0, 1, 2, …}. Поэтому для простоты оставим обозначение ηQ для момента первого достижения множества Q* траекторией процесса хt. Имеем следующие соотношения между приводящими операторами A и A*:

A*W(z, t) = AW(z, t + 1) + [W(z, t + 1) — W(z, t)]. (4)

Здесь функция W(z, t) задана на X, а оператор A применяется к W, рассматриваемой как функция первого аргумента z. Если известна область определения DА, то несложно, пользуясь формулой (4), найти соответствующую область определения для оператора A*. Ниже будем без дополнительных оговорок считать, что функции, к которым применяются операторы A и A*, берутся из множеств DА и А* соответственно. Некоторыми обобщениями, которые при этом возможны, будем пренебрегать.

Лемма 1. Пусть существуют функции k(t) и W(z, t), t ≥ 0, z∈Z, такие, что:

1) sup ∑k(t) = K < ∞. 2) A*W(z,t) ≤ k(t,), z не принадлежит Q, t ≥ 0. Тогда

sup MzW(z,t) ≤ W(z,0) + K. (5)

Теорема 1. Пусть G(t), t ≥ 0,— неотрицательная неубывающая функция. Для того чтобы множество Q было G достижимым из любой точки z не принадлежит Q, необходимо и достаточно существования функции W(z, t), z∈Z, t ≥ 0, удовлетворяющей условиям леммы 1 и неравенству

G(t) ≤ inf W(z, t). (7)

Часто представляет интерес вопрос о G-достижимости множества Q из точки z∈Q. В этом случае величина ηQ является временем первого возвращения в множество Q из точки z∈Q. Решение этого вопроса дается следствием 1 теоремы 1.

Следствие 1. Пусть функция G удовлетворяет условиям теоремы 1. Тогда существование функции W, также удовлетворяющей условиям этой теоремы и дополнительному условию A*W(z, 0) < ∞, z∈Q, необходимо и достаточно для конечности величины MzG(ηQ), zisin;Q.

Следствие 1. Для достижимости множества Q⊂Z необходимо и достаточно существования неотрицательной функции V(z), удовлетворяющей при некотором Δ > 0 условию

sup AV (z) ≤ — Δ.

Доказанная теорема и ее следствия составляют основу анализа G-достижимости для процессов с дискретным временем. Пользуясь этими результатами, можно получать более простые условия в различных частных предположениях. Вместе с тем следует сказать, что найденные выше условия, вообще говоря, не являются необходимыми. Вопрос о нахождении эффективных необходимых и достаточных условий G-достижимости для произвольных функций G пока открыт.


Комментарии запрещены.





Статистика

Рейтинг@Mail.ru