Образовательный блог – всё для учебы

Пусть Q — некоторое подмножество Z. Обозначим через ?^Q момент первого достижения множества Q траекторий рассматриваемого процесса z_t, т. е.

?^Q = min{t: z_t?Q, t>0}; (1)

Отметим, что с формальной точки зрения вместо момента первого достижения можно было бы рассматривать момент первого выхода, поскольку ?^Q = ?^Z\Q. Однако, как было сказано во введении, изучение указанных случайных величин приводит к различным прикладным задачам.

Здесь будут изучаться вопросы конечности величин вида М_zG(?^Q) для различных функций G(t), t ? 0. В частности, если G(t) = t^? то получаем момент порядка ? величины ?^Q.

Определение 1. Пусть G(t), t ? 0 — некоторая неотрицательная функция. Назовем множество Q?Z G-достижимым из точки z?Z, если

М_zG(?^Q) < ?. (2)

Определение 2. Множество Q?Z назовем достижимым из точки z?Z, если

М_z?^Q < ?. (3)

Введенные понятия обобщают понятия возвратности и достижимости, играющие важную роль в теории цепей Маркова.

Для изучения свойств G-достижимости рассмотрим наряду с исходным процессом z_t «расширенный» процесс x_t = (z_t, t), у которого время является одной из компонент состояния. Процесс x_t вновь является однородным марковским). Пусть, как и ранее, А — производящий оператор процесса z_t. Обозначим А* производящий оператор процесса x_t. Вообще, крышкой будем отмечать величины, относящиеся к процессу x_t и аналогичные соответствующим величинам, относящимся к процессу z_t. Множеством состояний процесса x_t является X = Zx{0, 1, 2, …}.

Пусть Q* = Qx{0, 1, 2, …}. Поэтому для простоты оставим обозначение ?^Q для момента первого достижения множества Q* траекторией процесса х_t. Имеем следующие соотношения между приводящими операторами A и A*:

A*W(z, t) = AW(z, t + 1) + [W(z, t + 1) - W(z, t)]. (4)

Здесь функция W(z, t) задана на X, а оператор A применяется к W, рассматриваемой как функция первого аргумента z. Если известна область определения D_А, то несложно, пользуясь формулой (4), найти соответствующую область определения для оператора A*. Ниже будем без дополнительных оговорок считать, что функции, к которым применяются операторы A и A*, берутся из множеств D_А и _А* соответственно. Некоторыми обобщениями, которые при этом возможны, будем пренебрегать.

Лемма 1. Пусть существуют функции k(t) и W(z, t), t ? 0, z?Z, такие, что:

1) sup ?k(t) = K < ?.

2) A*W(z,t) ? k(t,), z не принадлежит Q, t ? 0.

Тогда

sup M_zW(z,t) ? W(z,0) + K. (5)

Теорема 1. Пусть G(t), t ? 0,— неотрицательная неубывающая функция. Для того чтобы множество Q было О достижимым из любой точки z не принадлежит Q, необходимо и достаточно существования функции W(z, t), z?Z, t ? 0, удовлетворяющей условиям леммы 1 и неравенству

G(t) ? inf W(z, t). (7)

Часто представляет интерес вопрос о G-достижимости множества Q из точки z?Q. В этом случае величина ?^Q является временем первого возвращения в множество Q из точки z?Q. Решение этого вопроса дается следствием 1 теоремы 1.

Следствие 1. Пусть функция G удовлетворяет условиям теоремы 1. Тогда существование функции W, также удовлетворяющей условиям этой теоремы и дополнительному условию A*W(z, 0) < ?, z?Q, необходимо и достаточно для конечности величины M_zG(?^Q), z?Q.

Следствие 1. Для достижимости множества Q?Z необходимо и достаточно существования неотрицательной функции V(z), удовлетворяющей при некотором ? > 0 условию

sup AV (z) ? — ?.

Доказанная теорема 2 и ее следствия составляют основу анализа G-достижимости для процессов с дискретным временем. Пользуясь этими результатами, можно получать более простые условия в различных частных предположениях. Вместе с тем следует сказать, что найденные выше условия, вообще говоря, не являются необходимыми. Вопрос о нахождении эффективных необходимых и достаточных условий G-достижимости для произвольных функций G пока открыт.

1. Достижимость для КЛП
2. Ограниченность для процессов с дискретным временем
3. Марковские процессы с дискретным временем
4. Леммы – модели систем с дискретным временем
5. Примеры 1 и 2 моделей с дискретным временем
6. Пример 3 и 4 моделей систем с дискретным временем
7. Процесс, построенный на последовательности необрывающихся процессов
8. Кусочно-линейные марковские процессы с непрерывным временем
9. Оценки в случае непрерывного времени
10. Вывод формулы для КЛП (кусочно-линейных марковских процессов)
11. Схема резервирования с конечным временем переключения элементов
12. Ограниченность для КЛП
13. Устойчивость регенерирующих процессов
14. Постановка задачи оценки распределения момента первого достижения
15. Оценка скорости сходимости в теореме восстановления
16. Оценки в случае дискретного времени
17. Достаточные условия регулярности